Ensembles finis Exemples

$\frac{1}{25} + \frac{1}{10} t^{2} + \frac{1}{16} t^{4}$

Étape 1

Réécrivez le point milieu.

$\frac{1}{25} + 2 (\frac{1}{5}) (\frac{1}{4} t^{2}) + 0 + \frac{1}{16} t^{4}$

Étape 2

Réorganisez les termes.

$\frac{1}{25} + 2 (\frac{1}{5}) (\frac{1}{4} t^{2}) + \frac{1}{16} t^{4} + 0$

Étape 3

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

${(\frac{1}{5} + \frac{1}{4} t^{2})}^{2} + 0$

Étape 4

Associez $\frac{1}{4}$ et $t^{2}$ .

${(\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4})}^{2} + 0$

Étape 5

Réécrivez ${(\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4})}^{2}$ comme $(\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4}) (\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4})$ .

$(\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4}) (\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4}) + 0$

Étape 6

Développez $(\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4}) (\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{5} (\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4}) + \frac{t^{2}}{4} (\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4}) + 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{4} (\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4}) + 0$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + 0$

Étape 7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + 0$

Étape 7.1.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{1}{25} + \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{2}}{4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + 0$

Étape 7.1.2

Associez.

$\frac{1}{25} + \frac{1 t^{2}}{5 \cdot 4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + 0$

Étape 7.1.3

Multipliez $t^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{5 \cdot 4} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + 0$

Étape 7.1.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + 0$

Étape 7.1.5

Associez.

$\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{2} \cdot 1}{4 \cdot 5} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + 0$

Étape 7.1.6

Multipliez $t^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{2}}{4 \cdot 5} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + 0$

Étape 7.1.7

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{2}}{4} \cdot \frac{t^{2}}{4} + 0$

Étape 7.1.8

Associez.

$\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{2} t^{2}}{4 \cdot 4} + 0$

Étape 7.1.9

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.9.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{2 + 2}}{4 \cdot 4} + 0$

Étape 7.1.9.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{4}}{4 \cdot 4} + 0$

Étape 7.1.10

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{4}}{16} + 0$

Étape 7.2

Additionnez $\frac{t^{2}}{20}$ et $\frac{t^{2}}{20}$ .

$\frac{1}{25} + 2 \frac{t^{2}}{20} + \frac{t^{4}}{16} + 0$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$\frac{1}{25} + 2 \frac{t^{2}}{2 (10)} + \frac{t^{4}}{16} + 0$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{25} + 2 \frac{t^{2}}{2 \cdot 10} + \frac{t^{4}}{16} + 0$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{10} + \frac{t^{4}}{16} + 0$

Étape 9

Additionnez $\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{10} + \frac{t^{4}}{16}$ et $0$ .

$\frac{1}{25} + \frac{t^{2}}{10} + \frac{t^{4}}{16}$

Étape 10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 10.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{25} + \frac{t^{2}}{10} + \frac{t^{4}}{16}$

Étape 10.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{5^{2}} + \frac{t^{2}}{10} + \frac{t^{4}}{16}$

Étape 10.3

Réécrivez $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ comme ${(\frac{1}{5})}^{2}$ .

${(\frac{1}{5})}^{2} + \frac{t^{2}}{10} + \frac{t^{4}}{16}$

Étape 10.4

Réécrivez $t^{4}$ comme ${(t^{2})}^{2}$ .

${(\frac{1}{5})}^{2} + \frac{t^{2}}{10} + \frac{{(t^{2})}^{2}}{16}$

Étape 10.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${(\frac{1}{5})}^{2} + \frac{t^{2}}{10} + \frac{{(t^{2})}^{2}}{4^{2}}$

Étape 10.6

Réécrivez $\frac{{(t^{2})}^{2}}{4^{2}}$ comme ${(\frac{t^{2}}{4})}^{2}$ .

${(\frac{1}{5})}^{2} + \frac{t^{2}}{10} + {(\frac{t^{2}}{4})}^{2}$

Étape 10.7

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$\frac{t^{2}}{10} = 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{2}}{4}$

Étape 10.8

Réécrivez le polynôme.

${(\frac{1}{5})}^{2} + 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{2}}{4} + {(\frac{t^{2}}{4})}^{2}$

Étape 10.9

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = \frac{1}{5}$ et $b = \frac{t^{2}}{4}$ .

${(\frac{1}{5} + \frac{t^{2}}{4})}^{2}$